三角函数诱导公式

一、知识梳理

1． 同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sin α

(2)商数关系：＝tan α.

cos α

2． 下列各角的终边与角α的终边的关系

角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α 图示 与角α 终边的 关系 角 π－α π－α 2π＋α 2相同 关于原点对称 关于x轴对称 图示 与角α 终边的 关系 3. 六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ＋α (k∈Z) sin_α cos_α tan_α 二 π＋α －sin_α －cos_α tan_α 三 －α －sin_α cos_α －tan_α 四 π－α sin_α －cos_α －tan_α 五 π－α 2cos_α sin_α 六 π＋α 2cos_α －sin_α 关于y轴 对称 关于直线y＝x 对称 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 第 1 页

二、例题精讲

题型一 同角三角函数关系式的应用

3

例1 (1)已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝________.

5

(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.

变式训练1

(1)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于

4A．－

3

5B. 4

4D. 5

( )

3C．－

4

1＋sin x1cos x

(2)已知＝－，那么的值是

cos x2sin x－111A. B．－ 22( ) D．－2

C．2

7

(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.

13

题型二 诱导公式的应用

π5π3

＋α＝，求cos－α的值； 例2 (1)已知cos636

73

α－π的值． (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan25

π7π1

α＋＝，则cosα＋的值为________． 变式训练2 (1)已知sin12312

π22π

－α＝，则sinα－＝________. (2)已知cos363

33

sin－α－πcosπ－α

22

(3)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)

ππcos－αsin＋α

22

＝________.

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题型三 三角函数式的求值与化简

例3 (1)已知tan α＝11

3，求2sin αcos α＋cos2α

的值；

tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π

(2)化简：

2cos－α－πsin－π－α.

变式训练3 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2

3

，则这个三角形是A．正三角形

B．直角三角形 C．锐角三角形

D．钝角三角形

(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，则sin2π－α·sinπ＋α·cosπ＋α

sin3π－α·cosπ－α

＝________.

三、课后练习

A组 基础训练

一、选择题

1． α是第四象限角，tan α＝－5

12

，则sin α等于

A.15 B．－15 C.5513 D．－13

2． 已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π

3，则sin α等于

( )

( )

( )

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A．－

3

2

B.

3

2

C．－12

D.12 3． 已知sin(π－α)＝－2sin(π

2

＋α)，则sin α·cos α等于

A.25 B．－25 C.225或－5 D．－1

5

4． 已知f(α)＝sinπ－α·cos2π－α25π

cos－π－α·tanπ－α

，则f－3的值为

A.12 B．－12 C.32 D．－32 5． 已知A＝sinkπ＋αsin α＋coskπ＋α

cos α

(k∈Z)，则A的值构成的集合是

A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}

C．{2，－2}

D．{1，－1,0,2，－2}

二、填空题

sinα＋3π

·tanα＋π6． 化简：

2sinπ－α

＝________.

7． 如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π

2)＝________.

8． 化简：sin2α＋π·cosπ＋α·cos－α－2π

＝________.

tanπ＋α·sin3

π2

＋α·sin－α－2π

三、解答题

9． 已知sin θ＝4π

5，2

<θ<π.

(1)求tan θ的值；

(2)求sin2θ＋2sin θcos θ3sin2θ＋cos2θ的值．

( )

( )

( ) 第 4 页

ππ

10．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根，求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值．

2

B组 能力提升

1． 已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(3

2

π－θ)的值是

A.229

B．－229

C．－19

D.19 2． 当0cos xsin x－sin2x的最小值是

A.14 B.12

C．2 D．4

3． 已知cosπ6－θ5π＝a (|a|≤1)，则cos6＋θ＋sin2π

3－θ的值是________．

4． 已知f(x)＝cos2nπ＋x·sin2nπ－x

cos2[2n＋1π－x]

(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式； (2)求f(π503π

2 014)＋f(1 007)的值．

5． 已知在△ABC中，sin A＋cos A＝1

5

.

(1)求sin Acos A的值；

2

( )

( )

第 5 页

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值．

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