例谈三角形面积公式

高中数学对解三角形要求掌握六方面的知识点，即角的关系（三内角和等于180度）、边的关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）、边角关系（大边对大角，小边对小角）、正弦定理、余弦定理、面积公式，其中面积公式表达形式多样，处理问题的时候也比较灵活，本文将通过一些实例介绍一下各种面积公式的使用情况。

形式一：SABC1底高； 2例：（06年湖南卷理科13题）曲线y1和yx2在它们交点x处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 。

1yx111分析：,y()2,y(x2)2x. xxxy1yx21切线方程分别为y1(x1),y12(x1),与x轴交点分别为(2,0),(,0)2113围成的三角形面积SABC(2)1.224形式二：SABC

111absinCacsinBbcsinA; 22211底高cbsinA.多用于已知22证明：将形式一中的高长用所在的直角三角形的斜边和所对的角表示出来即得，SABC两边及夹角或夹角可求的情况。

例：（04年全国卷Ⅳ理科11题）△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边。如果a,b,c

0

成等差数列，∠B=30, △ABC的面积为3/2，那么b等于（ B. ）

A.

1323 B.13 C. D.23 22222分析：a,b,c成等差数列，2bac,平方得ac4b2ac.

3113又SABC且B300,故SABCabsinBac,得ac6,a2c22242a2c2b24b212b2b24324b12.由余弦定理得cosB,

2ac2642解得b2423,b13.形式三：SABCabc;(R为ABC外接圆半径) 4R1

11bcsinAbccos(A)222证明：如图，

11aabcbccosOBCbc.222R4RSABC例：已知△ABC的面积为315，三边长分别为4，6，8求其外接圆面积。 分析：直接应用公式得外接圆半径代入面积公式S(形式四：SABCrp;(r为ABC内切圆半径,p15215). 16256abc) 2证明：如图，原三角形的面积可以看作三个等高的三角形的面积和，其高为内切圆的半径，底的和为三角形的周长，故得此公式。

例：已知A(0,0),B(2,0),C(1,1)，求△ABC的内切圆方程。

1222121rr21分析：如图， 22圆方程为(x1)2(y12)2322.SABC形式五：SABCp(pa)(pb)(pc).(也叫海伦公式)

这个公式人们一直归功于古希腊数学家海伦（出现在《测地术》一书），但现在已证实

是阿基米德﹝前287-前212﹞发现的。我国大数学家秦九韶﹝1022-1261﹞在他写的《数书九章》中计算“三斜求积”所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形

122a2b2c22的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则 [ab()]。

42SABC111absinCab1cos2Cab(1cosC)(1cosC)2221a2b2c2a2b2c21证明：ab(1)(1)[(ab)2c2][c2(ab)2]

22ab2ab4abcabccbacab2222p(pa)(pb)(pc).例：（06年全国卷Ⅰ理科11题）用长度分别为2,3,4,5,6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ B. ）

222A. 85cm B. 610cm C. 355cm D. 20cm

2分析：由题意分别列出边的各种组合连成三角形，用SABC

p(pa)(pb)(pc)公式计算得边长为6、7、7时三角形面积最大其中p为半周长为定值。

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