高中数学圆锥曲线问题解题方法

年轻人·教育

高中数学圆锥曲线问题解题方法

杨彩霞

（甘肃省民勤县第四中学，甘肃 武威 733000）

摘　要：解决圆锥曲线问题需要同学们有决心和毅力，要想完全掌握圆锥曲线类的题目，要有较强的逻辑思维和计算能力。文章从圆锥曲线的定义开始，为学生提供圆锥曲线的三大类考点，通过例题让学生体会从定义的角度出发来解决问题的方法。关键词：高中数学；圆锥曲线；解题法中图分类号：G634.6󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃文献标志码：A󰀃󰀃󰀃文章编号：1672-3872（2019）33-0147-01󰀃󰀃

1 应用椭圆的定义的解题策略

通过椭圆的定义能知道，在椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个固定值。这一定义是解决所有椭圆问题的思考出发点，为此，在解题的过程当中，如果题目当中提到椭圆上的点到焦点的距离，首先要联想椭圆的定义，再寻找题目当中的有效信息进行整合，通过椭圆的定义能够解决问题的时候还要善于利用定义将问题转化，找到题目当中的隐含条件，并且借助于数形结合的思想以及转化与划归思想来完成椭圆的求解。

例题1，设A、B为椭圆的两个焦点，且P为椭圆上的一个焦点，△APB为直角三角形，且|PA|＞|PB|，求|PA|/|PB|的值。

分析：△APB为直角三角形，并且|PA|＞|PB|，通过这两个条件，还应当想到谁是直角的问题，第一种情况是角∠PBA为直角，第二种情况是∠APB为直角，在求解的过程中要注意运用三角形的三边关系来求解。解：由已知可得|PA|+|PB|=6，|AB|=，根据题目可分为两种情况。

第一种情况：若∠PBA为直角，则有|PA|²=|PB|²+|AB|²|PA|+|PB|=6

解得|PA|=14/3|PB|=4/3，所以|PA|/|PB|=7/2第二种情况：若∠APB为直角，则有

|AB|²=|PB|²+|PA|²，所以可得以下式子：20=|PB|²+|PA|²|PA|+|PB|=6

解得|PA|=4|PB|=2，所以|PA|/|PB|=2综上所述，|PA|/|PB|的值为7/2或2。

解答本题要充分利用椭圆的定义以及性质，不可忽略直角三角形中谁是直角的问题。运用定义解题的过程当中一定要细心。

2 应用双曲线的定义的解题策略

双曲线是圆锥曲线里的重要一节，在形式上和椭圆相差不大，在做题的时候要注意区分好椭圆和双曲线，在双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差是一个固定值，双曲线在定义上和椭圆只有一字之差，但是在性质和图像上却相差甚远。在解答问题之前要先分辨好题目中的圆锥曲线是否是双曲线，不可盲目作答。

例题2，已知双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，并且过点P（4，3），求双曲线的标准方程。

解：根据题目可设双曲线的方程为，把点P（4，3）代入方程可以求得

，即λ=-5

所以求得双曲线的标准方程为

总结点评：一般这类问题通常作为小题或者是大题的第一小问出现，本题根据渐近线方程得到了双曲线方程当中的a，b，c之间的关系，根据参数来用待定系数法求解函数的表达式。对于大部分学生们来说，用双曲线的定义可以解决的问题要保证不失分，这类的题目需要同学们仔细审题，通常要求学生根据题目已知条件来求解双曲线标准方程或者是双曲线离心率的问题，需要同学们学生从题目中寻找有效信息来建立双曲线的参数之间的联系，从而解决问题。

3 应用抛物线定义的解题策略

最后一种圆锥曲线是抛物线，抛物线和前面的椭圆，双曲线不太像。在平面内，到一定点的距离和到一定直线的距离相等的点的轨迹就是抛物线，从抛物线的定义来看，定直线是解题过程当中不可缺少的条件，定直线就是抛物线的准线，在利用定义解题的时候可能会求准线的方程，在解题的时候要善于转化，看到准线就要想焦点，看到焦点就像准线。另外，还要学会利用焦半径，即抛物线上一点到焦点的距离。

例题3，已知抛物线方程为y²=4x，F是抛物线的焦点，点Q的坐标为（2，2），在抛物线上求一点P使得|PQ|+|PF|最小，求点P的坐标。

解析：抛物线的方程y²=4x，点Q在抛物线内部，则过点Q做一条垂直准线的线，即x=-1，它和抛物线的交点是C，根据抛物线定义，P到准线的距离等于PF的长。在抛物线上任意取一点P，做PD垂直准线，通过作图可以发现只有当P点和C点重合的时候，|PQ|+|PF|才最小。点P的纵坐标和Q一样，y=2，带入双曲线方程解得x=1，因此P点坐标为（1，2）。

分析：涉及抛物线上一点到焦点的距离的问题，通常是思考用抛物线的定义来解决。牢记定义是解答问题的关键。在做题目的时候要有意识去用焦半径（抛物线上一点到焦点的距离）这一概念来解决问题，多画图来发现题目的内在逻辑关系，本题通过画图可以发现只有三点在一条直线上的时候才能够取得最小值，并且点到直线的垂线段最短，这样的结论在做题过程当中是通用的。

4 结束语

总而言之，圆锥曲线问题变化多样，需要和很多其他知识相联系，考查学生的综合运用能力，也是一种提高型的题目，文章所介绍的三种圆锥曲线都是用定义来解决的基本性的问题，需要学生认真掌握，在考试当中不失分。参考文献：

[1]谭小平.高中数学圆锥曲线教学的分析和研究[J].中国培训,2015

(8):162.[2]王小龙.高中数学圆锥曲线教学中存在的问题与解决策略[D].海

口:海南师范大学,2014.

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