扶余市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知角的终边经过点(sin15,cos15)，则cos的值为（ ）

231313 B． C. D．0 424242． 函数f(x)在定义域R上的导函数是f'(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f'(x)0，

A．

设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）

A．abc B．abc C．cab D．acb 3． 若不等式1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a﹣2b的取值范围是（ ） A．[5，10]

B．（5，10）

C．[3，12]

4． 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）

D．（3，12）

A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）ex

D．y=

5． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n

B．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β D．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β 6． 方程x11y1表示的曲线是（ ）

2C．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥α

A．一个圆 B． 两个半圆 C．两个圆 D．半圆 7． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A．

B．

C．

D．

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8． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.

12x+ax存在与直线3xy0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ） 2A. (0,) B. (,2) C. (2,) D. (,1]

9． 函数f(x)=lnx+【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 10．以下四个命题中，真命题的是（ ） A．xR,xx2

B．“对任意的xR，x2x10”的否定是“存在x0R，x02x010 C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数

D．已知m，n表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且m，n，则“”是 “m//n”的必要不充分条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b26，A6，则

B（ ）111]

A．

32 B．或 C．或 D．

43443312．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（ ）

A．0° B．45° C．60° D．90°

二、填空题

13．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；

③当x=1时，（i，j）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值； ⑤M中的元素之和为0．

且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：

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其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）

14．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．

15．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若

S10S82，则S2016的值等于 . 108

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度. 16．

= ．

三、解答题

17．（本小题满分12分）

一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号． （Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；

（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．

218．设集合Ax|x8x150,Bx|ax10．

1，判断集合A与B的关系； 5（2）若ABB，求实数组成的集合C．

（1）若a

19．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N*都成立．

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（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．

20．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD， 平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点． （Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；

（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为

，求AG的长．

21．（本小题满分12分）

12x(a3)xlnx. 2（1）若函数f(x)在定义域上是单调增函数，求的最小值；

112（2）若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根，求的取值范围.

2e已知函数f(x)

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x2y2222．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，P(1,)是椭圆上

ab一点，且2|PF1|,|F1F2|,2|PF2|成等差数列．

（1）求椭圆C的标准方程；、

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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2QAQB716扶余市第一中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

考

点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义. 2． 【答案】C 【解析】

考点：函数的对称性，导数与单调性．

可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：

【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，

则其图象关于点(m,n)对称． 3． 【答案】A

【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b） 即

解得：x=3，y=1

即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b） ∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4， ∴3≤3（a﹣b）≤6

∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10

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故选A

y，是解答的关键．

4． 【答案】 C

【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，

x2x2

【解析】解：A中，∵y=2﹣x﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2的值趋向于0，y=x+1的值趋向+∞， x2

∴函数y=2﹣x﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；

B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=∴B中的函数不满足条件；

的图象是以x轴为中心的波浪线，

C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0； 且y=e＞0恒成立，

x

2x

∴y=（x﹣2x）e的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；

∴C中的函数满足条件； D中，y=∴y=

的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，

＜0，∴D中函数不满足条件．

故选：C．

【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．

5． 【答案】 C

【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；

对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确； 故选：C．

对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；

【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．

6． 【答案】A 【解析】

试题分析：由方程x11y1，两边平方得x1(1y1)，即(x1)(y1)1，所

222222以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.

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考点：曲线的方程. 7． 【答案】D

【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m 则由题意知解得d=

．

，

故选：D．

【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．

8． 【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 9． 【答案】D 【解析】因为f(x)因为x+11xa，直线的3xy0的斜率为3，由题意知方程xa3（x>0）有解，

xx1?2，所以a£1，故选D． x10．【答案】D

11．【答案】B 【解析】

试题分析：由正弦定理可得:3sin6362,sinB,B0,,B 或，故选B.

4sinB24考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 12．【答案】C

【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，

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∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°． 故选：C．

∴CD1与EF所成角为60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

二、填空题

13．【答案】 ①③⑤

【解析】解：建立直角坐标系如图：

则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）． ∵集合M={x|x=

对于①，当i=1，j=3时，x=对于②，当i=3，j=1时，x=对于③，∵集合M={x|x=∴∴

=（1，﹣1），•

=1；

•=

=1；

且i，j∈{1，2，3，4}}，

=（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确； =（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误； 且i，j∈{1，2，3，4}}， =（0，﹣1），

•

==1；

=（1，0）， •

=1；

∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；

④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；

⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2； 当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0， ∴M中的元素之和为0，故⑤正确． 综上所述，正确的序号为：①③⑤， 故答案为：①③⑤．

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【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得﹣1），

=

=（0，﹣1），

=

难题．

14．【答案】 2 ．

【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3， ∴此组数据的方差∴此组数据的标准差S=故答案为：2

．

[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8， =2

．

=（1，

=（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于

【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．

15．【答案】2016

16．【答案】 2 ． 【解析】解：故答案为：2．

=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

三、解答题

17．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，

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22C4C416∴所求概率为P122（6分）

C5C525112C323C2C3C231（Ⅱ）0,1,2, P(0)2，P(1)，，（9分） P(2)22C510C55C510故的分布列为：

 P 0 1 2 3 103 51 10 （10分）

331412 （12分） 10510518．【答案】（1）BA；（2）C0,3,5.

∴E0【解析】

考

点：1、集合的表示；2、子集的性质. 19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，

*

存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N都成立，

由题意得当n=1时，（1﹣a）b=b﹣a2，∴a2=ab=aa1， 当n≥2时，（1﹣a）Sn=b﹣an+1，（1﹣a）Sn+1=b﹣an+1， 两式作差，得：an+2=a•an+1，n≥2， ∴{an}是首项为b，公比为a的等比数列，

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∴．

（Ⅱ）当a=1时，Sn=na1=nb，不合题意， 当a≠1时，若

，即

， ，

化简，得a=0，与题设矛盾，

故不存在非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

20．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点， 所以AG⊥EF．

又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…

因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD， AG⊂平面ADEF， 所以AG⊥平面ABCD．…

（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直． 以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系 则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0）， 设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t）， 所以

=（﹣4，﹣1，t），

=（4，4，0），

=（0，1，t）．…

设平面ACE的法向量为=（x，y，z）， 由

=0，

=0，得

，

令z=1，得=（t，﹣t，1）． 因为BF与平面ACE所成角的正弦值为所以|cos＜即

所以AG=1或AG=

＞|=

=

=

，

，…

．

2

，解得t=1或

．…

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【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

21．【答案】（1）；（2）0a1.1111] 【解析】

则

1f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，

x1而当x0时，(x)3231，

x∴a1.

若函数f(x)在(0,)上递减，

则f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立， 这是不可能的. 综上，a1. 的最小值为1. 1

（2）由f(x)(a)x(a2)x2lnx0， 得(a)x(2a)x2lnx，

1x122122第 13 页，共 16 页

1(1)x22x(lnxx)lnxxlnxx1x2lnxxr(x)即a，令，， r'(x)33x2x2xx得1x2lnx0的根为1，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．

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下面证明m57时，QAQB恒成立． 416

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为xty1，Ax1,y1，Bx2,y2，

x2y21，得(t22)y22ty10， 由xty1及22t1,y1y22所以0，∴y1y22． t2t2x1ty11，x2ty21，

5511112∴(x1,y1)(x2,y2)(ty1)(ty2)y1y2=(t1)y1y2t(y1y2)＝

4444416112t12t22t2172． (t1)2t22t24t2162(t2)1616第 15 页，共 16 页

综上所述，在x轴上存在点Q(,0)使得QAQB

547恒成立． 16第 16 页，共 16 页