有限群超可解的一些充分条件

第３３卷第１期　２０１８年２月　成都信息工程大学学报　Ｖ０１．３３　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２０１８　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＨＥＮＧＤＵ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　ＴＥＣＨＮＯＬ０ＧＹ　文章编号：２０９６－１６１８（２０１８）０ｌ－００９９－０４　Ｓｏｍｅ　Ｓｕｆｉｃｉｅｎｔ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｓｕｐｅｒｓ０ｌＶａｂｉｌｆｉｔｙ　０ｆ　ａ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｇｒｏｕｐ　ＹＯＵ　Ｚｅ，ＬＩ　Ｂａｏ－ｊｕｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６　１　００２５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ　Ｘ　ｂｅ　ａ　ｎｏｎ—ｅｍｐｔｙ　ｓｕｂｓｅｔ　ｏｆ　Ｇ．Ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｈ　ｏｆ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　Ｘ－ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ｉｆ　Ｈ　ｈａｓ　ａ　ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔ　Ｔ　ｉｎ　Ｇ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｈ　ｉｓ　Ｘ－ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ａｎｙ　Ｓｙｌｏｗ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｔｆｏｒ　ｓｏｍｅ　∈Ｘ．Ｌｅｔ　Ｐ　ｂｅ　ａ　ｓｙｌｏｗＰ—　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ａ　ｉｎｉｆｔｅ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ．ａｎｄ　ｄ　ａ　ｐｏｗｅｒｏｆ　Ｐ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｌ≤ｄ＜ｌ　Ｐ　１．Ｗｅ　ｄｅｒｉｖｅ　ｓｏｍｅ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ａｎｄ　ｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓ　ｔｈａｔ　ｅｘ—　ｔｅｎｄ　ｋｎｏｗｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ　Ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ．Ｗｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｔｈａｔ　ｉｆ　Ｈ　ｎ　ｏｖ（Ｇ）ｉｓ　Ｘ－ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒ—　ｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　Ｈ　ｏｆ　Ｇ　ｗｉｔｈ『ＨＩ＝ｄ，ｗｈｅｒｅ　Ｘ　ｉｓ　ａ　ｓｏｌｕｂｌｅ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ，ｔｈｅｎ　ｅｉｔｈｅｒ　Ｇ　ｉｓＰ—ｓｕ—　ｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ　ｏｒ　ｅｌｓｅ　ｌ　Ｐ　ｎ　ｏ　（Ｇ）ｆ＞ｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ａｌｇｅｂｒａ；ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐ；ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ；　ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ；ｐｒｉｍａｒｙ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ＣＬＣ　ｎｕｍｂｅｒ：Ｏ１５２．１　Ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ｃｏｄｅ：Ａ　ｄｏｉ：１０．１６８３６／ｊ．ｃｎｋｉ．ｉｃｕｌｔ．２０１８．０１．０１７　０　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ａｌｌ　ｇｒｏｕｐｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ａｒｅ　ｆｉｎｉｔｅ．Ｎｏｔａ－　ｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｉｅｓ　ａｒｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅａｄｅｒ　ｉｓ　ｒｅ—　ｆｅｒｒｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｔｅｘｔｓ　ｏｆ　Ｗ．Ｇｕｏ【　］ａｎｄ　Ｈｕｐｅｒｔ［２］ｆｏｒ　ｎｏｔａ．　ｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｉｅｓ　ｎｏｔ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　Ｐ－ｓｏｌｕｂｌｅ　ｉｆ　ｅｖｅｒｙ　ｃｈｉｅｆ　ｆａｃｔｏｒ　ｉｓ　ｅｉｔｈｅｒ　ａ　Ｐ　一ｇｒｏｕｐ　ｏｒ　ａ　ｐ－ｇｒｏｕｐ，ａｎｄ　Ｇ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｐ－ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ　ｉｆ　Ｇ　ｉｓ　ｐ－ｓｏｌ—　ｕｂｌｅ　ａｎｄ　ｅｖｅｒｙ　ｉｔｓ　Ｐ—ｃｈｉｅｆ　ｆａｃｔｏｒ　ｉｓ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ　Ｐ．Ｔｈｅ　ｓｕｂ—　Ｇ．Ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｈ　ｏｆ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏｂｅ　ｐｅｒｍｕｔａ－　ｂｌｅ（ｏｒ　ｑｕａｓｉｎｏｒｍａ１）ｉｎ　Ｇ　ｉｆ　Ｈ　ｐｅｒｍｕｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ａｎｙ　ｓｕｂ—　ｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ，ａｎｄ　Ｈ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　Ｓ－ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ｉｆ　Ｈ　ｐｅｒｍｕｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ａｎｙ　Ｓｙｌｏｗ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ．Ｉｆ日ｈａｓ　ａ　ｓｕｐ—　ｐｌｅｍｅｎｔ　Ｔ　ｉｎ　Ｇ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｈ　ｐｅｒｍｕｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ａｌｌ　Ｓｙｌｏｗ　ｓｕｂ—　ｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｔ，ｔｈｅｎ　Ｈ　ｉｓ　ｃａｌｌｅｄ　Ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｎｌｅ　ｉｎ　Ｇ．Ｂａｌｌ·　ｅｓｔｅｒ－Ｂｏｌｉｎｃｈｅｓ　ａｎｄ　ｅｔａ１．ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　１．１　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ［４ｊ　ａｎｄ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ．　ｇｒｏｕｐ　Ｏ　（Ｇ）ｏｆ　ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｂｙ　ａｌｌ　Ｐ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　Ｇ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍａｌ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｑｕｏｔｉｅｎｔ　ｉｓ　ａ　Ｐ　ｇｒｏｕｐ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｓｔ，　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｂ（［５，Ｔｈｅｏｒｅｍ　２］）ＬｅｔＰ∈Ｓｙｌｐ（Ｇ）ａｎｄ　ｌｅｔ　ｄ　ｂｅ　ａ　ｐｏｗｅｒ　ｏｆ　Ｐ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　１≤ｄ＜Ｉ　Ｐ　Ｉ．Ｌｅｔ　Ｕ＝　Ｏ　（Ｇ）ａｎｄ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　Ｈ　ｎ　ｏｐ（Ｇ）ｉｓ　Ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ日　Ｐｗｉｔｈ　ＩＨＩ＝ｄ．Ｔｈｅｎ　ｅｉｔｈｅｒ　Ｇ　ｉｓ　Ｐ－ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ，ｏｒ　ｅｌｓｅ　Ｉ　Ｐ　ｎ　ｕＩ＞ｄ．　Ｌｅｔ　Ｘ　ｂｅ　ａ　ｓｕｂｓｅｔ　ｏｆ　ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ａｎｄ　Ｈ，Ｔ　ｂｅ　ｓｕｂ—　ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　Ｇ．Ｔｈｅｎ　Ｈ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　Ｘ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ。。　ｗｉｔｈ　Ｔ　ｉｎ　Ｇ　ｉｆ日　＝ｒ日ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　∈Ｘ．Ｃｌｅａｒｌｙ．ａ　ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ　ｉｓ　ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｔｈａｔ　１一ｐｅｒｍｕｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ａｌｌ　ｓｕｂ－　ｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ．Ａｎｄ，ｉｆ　Ｘ＝Ｇ，ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｗｈｉｃｈ　Ｘ－ｐｅｒｍｕｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ａｌｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇｉｓｃ－ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　．Ｘ—ｐｅｒｍｕｔ－　ａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｅｘｔｅｎｓｉｖｅｌｙ　ａｎｄ　ｉｎ　Ｌ　ｓ　Ｊｔｈｅ　．ｍａｎｙ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｏｏ（Ｇ）ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　Ｇ．Ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｉｎ　Ｌ３　ＪＧｕｏ　ａｎｄ　Ｉｓｓａｃｓ　ｏｂ－　，ｔａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔ：　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ａ（［３，Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｂ］）Ｌｅｔ　Ｐ∈Ｓｙｌｐ（Ｇ）　ａｎｄ　ｄ　ｂｅ　ａ　ｐｏｗｅｒ　ｏｆＰ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　１≤ｄ＜Ｉ　Ｐ　Ｉ．Ｌｅｔ　Ｕ＝　Ｏ　（Ｇ）ａｎｄ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　Ｈ　ｎ　ｕ＜ｌ　ｕ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　日　Ｐ　ｗｉｔｈ　Ｉ　Ｈ　Ｉ＝ｄ．Ｔｈｅｎ　ｅｉｔｈｅｒ　Ｇ　ｉｓ　ｐ－ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ．ｏｒ　ｅｌｓｅ　Ｉ尸ｎ　ｌ＞ｄ．　Ｉｎ　ｔｈｅ　ｌａｔｅｒ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ，ｉｔ　ｉｓ　ｆｏｕｎｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｎｏｒｍａｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｈ　ｉｎ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　１．１　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ［　ｃａｎ　ｂｅ　ｗｅａｋｅｎｅｄ．　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｗｅｒｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．　Ｌｅｔ　Ａ，Ｂ　ｂｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ．Ｔｈｅｎ　Ａ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　Ｂ　ｉｆ　ＡＢ＝ＢＡ，ｔｈａｔ　ｉｓ，ＡＢ　ｉｓ　ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ［８，ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　１］Ｌｅｔ　Ａ　ｂｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ａｎｄ　Ｘ　ａ　ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ　ｓｕｂｓｅｔ　ｏｆ　Ｇ．Ｔｈｅｎ　Ａ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　Ｘ－ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ｉｆ　Ａ　ｈａｓ　ａ　ｓｕｐｐｌｅｍｅｍｔ　Ｔ　ｉｎ　Ｇ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ａ　ｉｓ　Ｘ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｗｉｔｈ　ａｌｌ　Ｓｙｌｏｗ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　Ｔ．　Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｄａｔｅ：２０１７－０６－３０　Ｉｔ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｆｉｎｄ　ｔｈａｔ　ａ　Ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｉｓ　Ｘ·－ｓ－·ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｉｎ　ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ｆｏｒ　ａｎｙ　ｓｕｂ·－　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍ：Ｐｒｏｊｅｃｔ　Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（１　１４７１０５５，１　１３７１３３５）　１００　成都信息工程大学　学报　第３３卷　ｇｒｏｕｐ　Ｘ　ｏｆ　Ｇ，ｂｕｔ　ａｎ　Ｘ—ｓ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｎｅｃ—　ｅｓｓａｒｉｌｙ　ｔｏ　ｂｅ　Ｓ－ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ｉｆ　ｉｓ　ｎｏｔ　１．Ｗｅ　ｄｅｒｉｖｅ　２　Ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｃ　Ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｔｒｕｅ　ａｎｄ　ｌｅｔ　Ｇ　ｂｅ　ａ　ｓｏｍｅ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ａｎｄ　ｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓ　ｔｈａｔ　ｅｘｔｅｎｄ　ｋｎｏｗｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ　Ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ［　一　．Ｔｏ　ｄｅｖｅｌｏｐ　ｔｈｅ　ｗｏｒｋ　ｉｎ［３　３ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　，ｃｏｕｎｔｅｒｅｘａｍｐｌｅ　ｏｆ　ｌｅａｓｔ　ｏｒｄｅｒ．Ｗｒｉｔｅ　Ｕ＝０ｐ（Ｇ），Ｋ　Ｐｎ　Ｕ．Ｔｈｅｎ　Ｉ　ＫＩ≤ｄ　ａｎｄ　Ｇ　ｉｓ　ｎｏｔ　Ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ．Ｉｎ　ｐａｒ—　ｔｈｅｏｒｅｍ．　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｃ　Ｌｅｔ　Ｇ　ｂｅ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐ　ａｎｄ　Ｘ　ａ　ｓｏｌｕｂｌｅ　ｔｉｃｕｌａｒ，Ｋ≠１　ａｎｄ　ｄ≥Ｐ．Ｗｒｉｔｅ｜Ｕ＝｛Ｈ　Ｐ　ｌ　ｌ　Ｈ　ｌ＝ｄ｝　．ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ．ＬｅｔＰ　ｂｅ　ａ　ｐｒｉｍｅ．ＬｅｔＰ∈Ｓｙｌ（Ｇ）　ｐＢｙ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ．　ｎ　Ｕ　ｉｓ　Ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ｆｏｒ　ｗｉｔｈ　Ｐ　ｂｅ　ａ　ｐｒｉｍｅ　ａｎｄ　ｌｅｔ　ｄ　ｂｅ　ａ　ｐｏｗｅｒ　ｏｆ　Ｐ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　１≤　ｄ＜ｌ　ＰＩ．Ｗｒｉｔｅ　Ｕ＝　（Ｇ），ａｎｄ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　Ｈｎ　Ｏｐ（Ｇ）　ｉｓ　Ｘ－ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ日　Ｐ　ｗｉｔｈ　ＩＨｆ＝　．Ｔｈｅｎ　ｅｉｔｈｅｒ　Ｇ　ｉｓ　ｐ－ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ．ｏｒ　ｅｌｓｅ　ｆＰｎ　｝　．　１　Ｓｏｍｅ　Ｌｅｍｍａｓ　Ｔｏ　ｐｒｏｖｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ，ｗｅ　ｌｉｓｔ　ｓｏｍｅ　ｋｎｏｗｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｓ　ｌｅｍｍａｓ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ．　Ｌｅｍｍａ　Ｉ．１［８，Ｌｅｍｍａ　２．１］Ｌｅｔ　Ａ　ａｎｄ　Ｘ　ｂｅ　ｓｕｂ．　ｒｇｏｕｐｓ　ｏｆ　Ｇ　ａｎｄ　Ｎ＜３Ｇ．Ｔｈｅｎ：　（１）Ｉｆ　Ｈ　ｉｓ　ａ　ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ，Ａ　ｉｓ　Ｘ　ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ，ｔｈｅｎ　ＨＡ　ｉｓ　ａ　Ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ．　（２）Ｉｆ　Ａ　ｉｓ　Ｘ．ｓ．ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ａｎｄ　Ｔ∈　（Ａ），ｔｈｅｎ　ＡＮ／Ｎ　ｉｓ　ＸＮ／Ｎ－ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ／Ｎ　ａｎｄ＂ｖ／Ⅳ∈（ＸＮ／Ｎ）　（ＡＮ／Ｎ）　（３）Ｉｆ　Ａ／Ｎ　ｉｓ　ＸＮ／Ｎ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ／Ｔ　ａｎｄ　Ⅳ∈（ＸＮ／Ｎ）　（Ａ／Ｎ），ｔｈｅｎ　Ａ　ｉｓ　Ｘ—ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ａｎｄ　Ｔ∈Ｘ　（Ａ）　（４）ＩｆＡ　ｉｓ　Ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ，Ａ≤Ｄ　Ｇ　ａｎｄ　≤Ｄ．ｔｈｅｎ　Ａ　ｉｓ　Ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｄ　（５）Ｉｆ　Ｔ∈Ｘ　（Ａ）ａｎｄ　Ａ≤Ｎｃ（Ｘ），ｔｈｅｎ　ｒ∈　（Ａ），ｆｏｒ　ａｎｙ　∈Ｇ．　（６）Ｉｆ　Ａ　ｉｓ　Ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　ａｎｄ　Ｘ≤Ｄ，　ｔｈｅｎ　Ａ　ｉｓ　Ｄ－·ｓ—－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ　Ｌｅｍｍａ　１．２『１６，Ｌｅｍｍａ　３．１３］Ｌｅｔ　Ａ　ａｎｄ　Ｂ　ｂｅ　ｓｏｍｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｇ≠ＡＢ　ａｎｄＡＢ　＝　Ｂ　Ａ　ｆｏｒ　ｅａｃｈ　∈Ｇ．Ｔｈｅｎ　Ｇ　ｈａｓ　ａ　ｐｒｏｐｅｒ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂ—　ｇｒｏｕｐ　Ｎ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｅｉｔｈｅｒＡ≤ＮｏｒＢ≤Ｎ．　Ｌｅｍｍａ　１．３［１６，Ｌｅｍｍａ　２．５］Ｌｅｔ　Ｇ　ｂｅ　ａ　ｇｒｏｕｐ，Ｐ　ａ　ｐ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ　ａｎｄ　Ｑ　ａ　ｑ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ，ｗｈｅｒｅ　Ｐ，ｑ　ａｒｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｐｒｉｍｅｓ　ｄｉｖｉｄｉｎｇ　ｌ　Ｇ　１．Ｉｆ　Ｌ　ｉｓ　ａ　ｓｕｂｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ　ａｎｄ　ＰＱ＝ＱＰ，ｔｈｅｎ　ＰＱ　ｎ　＝（Ｐ　ｎ　Ｌ）（Ｑ　ｎ　Ｌ）　ｅａｃｈ　Ｈ∈ｔＵ．　Ｓｔｅｐ　１　０。　（Ｇ）＝１　Ｗｒｉｔｅ　Ｖ＝０　，（Ｇ）ａｎｄ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　Ｖ≠１．Ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｆａｃｔｏｒ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ：Ｇ／Ｖ．ＬｅｔＨｂｅ　ａ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ　ｄ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　Ｈ∈｜Ｕ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ曰＝ＨＷＶ．　Ｓｉｎｃｅ　Ｈ　ｎ　ｕ　ｉｓ　Ｘ－ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．ｗｅ　ｈａｖｅ　Ｈ　ｎ　ｕ　＝（Ｈ　ｎ　ｕ）ＷＶｉｓ　ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ．Ｓｉｎｃｅ　Ｉ　ｆ／ｎ　ＰＩ≤　ｄ，ｉｔ　ｆｏｌｌｏｗｓ　ｔｈａｔ　Ｇ　ｉｓ　Ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ　ａｎｄ　ｔｈｉｓ　ｉｓ　ａ　ｃｏｎｔｒａ—　ｄｉｃｔｉｏｎ．Ｔｈｕｓ．　＝１．　Ｓｔｅｐ　２　Ｋ　ｉｓ　Ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．　Ｓｉｎｃｅ　Ｋ　ｉｓ　ｎｏｒｍａｌ　ｉｎ　Ｐ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ　ａｔ　ｍｏｓｔ　ｄ，ｔｈｅｒｅ　ｅｘ—　ｉｓｔｓ　Ｈ∈ｔＵ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｋ≤Ｈ≤Ｐ．Ｔｈｅｎ　Ｋ＝Ｐ　ｎ　ｕｉｓ　ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．　Ｓｔｅｐ　３　Ｌｅｔ　Ｍ　ｂｅ　ａ　ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｐ．Ｔｈｅｎ　ｎ　Ｕ＝Ｍ　ｆ－Ｉ　Ｋ　ｉｓ　Ｘ－ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．　Ｓｉｎｃｅ　ｌ　ｌ≤ｄ　ａｎｄＭ　ｎ　Ｕ＜３Ｐ．ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａｎＨ∈　ｔＵ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｍ　ｎ　Ｋ≤Ｍ　ｎ　Ｕ≤日≤Ｍ．Ｔｈｅｎ　Ｍ　ｎ　Ｋ：　ｎ　Ｋ　ｎ　Ｈ：Ｈ　ｎ　Ｋ＝　ｎ　Ｐ　ｎ　Ｕ：Ｈ　ｎ　ｕ．Ｔｈｕｓ．　ｎ　Ｋ＝Ｍ　ｎ　ｕ＝Ｈ　ｆ３　Ｕ　ｉｓ　Ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．　Ｓｔｅｐ　４　０。（Ｇ）ｎ　ｕ≠ｌ　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　０　（Ｇ）ｎ　Ｕ＝１　ａｎｄ　ｌｅｔ　Ｒ　ｂｅ　ａ　ｍｉｎｉｍａｌ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　Ｕ．Ｔｈｅｎ　Ｒ　ｉｓ　ｎｏｔ　ａｂｅ—　ｌｉａｎ．Ｓｉｎｃｅ　Ｒ　ｉｓ　ｎｅｉｔｈｅｒ　ａ　Ｐ—ｇｒｏｕｐ　ｎｏｒ　ａ　Ｐ　一ｇｒｏｕｐ　ｂｙ　ｓｔｅｐ　１．Ｓｏ，Ｒ　ｎ　ｘ＝１　ａｎｄ　ｈｅｎｃｅ　Ｒ　Ｃｃ（Ｘ）．Ｌｅｔ￡ｂｅ　ａ　ｍｉｎｉ—　ｍａｌ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｒ．Ｔｈｅｎ　Ｌ　ｉｓ　ａ　ｎｏｎ—ａｂｅｌｉａｎ　ｓｉｍｐｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ．Ｌｅｔ　ｑ　ｂｅ　ａ　ｐｒｉｍｅ　ｄｉｖｉｄｅｓ　ｏｒｄｅｒ　ｏｆ　Ｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｆｒｏｍＰ　ａｎｄ　Ｑ　ａ　Ｓｙｌｏｗ　ｑ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆＬ．　Ｗｅ　ｃｌａｉｍ　ｔｈａｔ　Ｋ　ｎ　Ｌ　ｐｅｒｍｕｔｅｓ　ｗｉｔｈ　Ｑ．Ｉｎ　ｆａｃｔ，ｂｙ　ｓｔｅｐ　２．Ｋ　ｉｓ　一５一ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．　Ｌｅｔ　Ｔ∈Ｘ　（Ｋ）．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　Ｓｌｙｏｗ　ｑ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｔｑ　ｉｓ　ａｌ—　ｓｏ　ａ　Ｓｙｌｏｗ　ｑ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ，ａｎｄ　Ｋ　＝　Ｋ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｔｈｅｒ　ｈａｎｄ，Ｑ　ｉｓ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　ｓｏｍｅ　ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｏｆ　Ｔｑ．Ｂｙ　Ｌｅｍｍａ　１．１（５），ｗｉｔｈｏｕｔ　ｌｏｓｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ，ｗｅ　ｍａｙ　ａｓｓｕｍｅ　Ｑ　．Ｓｉｎｃｅ　Ｌ　Ｒ　ＣＧ（　），ｉｔ　ｆｏｌｌｏｗｓ　ｔｈａｔ　Ｑ　＝Ｑ＝Ｔｑ　ｎ　Ｌ　ｉｓ　ａ　Ｓｙｌｏｗ　ｑ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｌ．Ｂｙ　ｌｅｍｍａ　１．３　ｎ　Ｋ　＝（，Ｊ　ｎ　Ｋ）（Ｌ　ｎ　Ｃａ）＝（　ｎ　Ｋ）Ｑ　ｉｓ　ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｌ，ｔｈａｔ　ｉｓ，　ｎ　Ｋ　ｐｅｒｍｕｔｅｓ　ｗｉｔｈ　Ｑ　ａｎｄ　ｏｕｒ　ｃｌａｉｍ　ｈｏｌｄｓ．　第１期　尤泽，等：有限群超可解的一些充分条件　１０１　Ｓｉｎｃｅ　Ｑ　ｉｓ　ａｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　Ｓｙｌｏｗ　ｑ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｌ，ａｎｄ　ａｎｙ　Ｓｙｌｏｗ　ｑ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｌ　ｉｓ　ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｏｆ　Ｑ，ｗｅ　ｈａｖｅ　ｔｈａｔ　Ｌ　ｎ　Ｋｐｅｒｍｕｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ａｎｙ　ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｏｆ　Ｑ　ｉｎ　Ｌ，ｔｈａｔ　ｉｓ（￡ｎ　Ｋ）Ｑ。＝Ｑ。（　ｎ　Ｋ）ｆｏｒ　ａｎｙ　ａ∈Ｌ．Ｃｌｅａｒｌｙ（￡ｎ　Ｋ）口≠　Ｌ，ｓｏ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｓｉｍｐｌｅ　ｂｙ　ｌｅｍｍａ　１．２，ａ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　Ｕ　ｎ　Ｄ。（Ｇ）≠１　ａｎｄ　ｓｔｅｐ　４　ｈｏｌｄｓ．　Ｓｔｅｐ　５　ｄ＞Ｐ　Ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　ｄ＝ｐ．Ｔｈｅｎ　Ｋ　ｉｓ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ　１　ｏｒ　Ｐ．Ｂｙ　ｓｔｅｐ　４，Ｕ　ｉｓ　ｐ－ｓｏｌｕｂｌｅ，ｈｅｎｃｅ　Ｐ　Ｎ　Ｕ　ｉｓ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　ｐ－ｓｕｐｅｒｓｏｌ—　ｕｂｌｅ　ｈｙｐｅｒｃｅｎｔｒｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ　Ｇ　ｉｓ　Ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ，ａ　ｃｏｎｔｒａ－　ｄｉｃｔｉｏｎ．　Ｓｔｅｐ　６　Ｆｉｎｉａｌ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ．　Ｌｅｔ　Ｎ　ｂｅ　ａ　ｍｉｎｉｍａｌ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　Ｕ．Ｓｉｎｃｅ　Ｉ　Ｋ　Ｉ≤ｄ．Ｗｅ　ｈａｖｅ　ｌ　Ｎ　Ｉ≤ｄ．Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　ｌ　Ｎｌ＜ｄ．Ｗｅ　ａｒｇｕｅ　ｔｈａｔ　Ｇ／Ｎ　ｓａｔｉｓｆｉｅｓ　ｔｈｅ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｃｌｅａｒｌｙ．１≤ｄ／Ｉ　ＮＩ＜ｌ　Ｐ／Ⅳ１．Ｌｅｔ　Ｈ／Ｔ　ｂｅ　ａ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆＰ／Ｔ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒｄ／ＩＴＩ．ＴｈｅｎＨ∈ｌｖ．　Ｉｔ　ｆｏｌｌｏｗｓ　ｔｈａｔ　Ｈ／Ｎ　ｎ　ｆ　Ｇ／Ｎ）＝Ｈ／Ｎ　ｎ　Ｕ／Ｎ＝　（Ｈ　ｎ　）／Ｎ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　．．ｓ　ｓｅｍｉ．ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ／Ｎ．Ｔｈｉｓ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　Ｇ／Ｎ　ｓａｔｉｓｆｉｅｓ　ｔｈｅ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｌａｉｍｅｄ．　Ｓｉｎｃｅ　ｌ　Ｐ／　Ｎ　Ｕ／ＮＩ＝ｌ（Ｐ　ｎ　）／ＮＩ≤ｄ／ｌ　Ｎｌ。ｉｔ　ｏｆ１．　１ｏｗｓ　ｔｈａｔ　Ｇ／Ｎ　ｉｓ　Ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ　ｂｙ　ｍｉｎｉｍａｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｇ．Ｌｅｔ　Ｉ　Ｎ　ｌ＝ｄ．Ｔｈｅｎ　Ｎ＝Ｋ．Ｓｏ　Ｇ／Ｎ　ｉｓ　Ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ．　Ｂｙ［７，Ｋａｐｉｔｅｌ　ＶＩ，Ｓｔａｚ８．６］，ｗｅ　ｍａｙ　ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　Ｎ　（Ｐ）．Ｌｅｔ　Ｍ　ｂｅ　ａ　ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆＰ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔＮ　Ｍ．Ｉｔ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｓｅｅ　ｔｈａｔＭ　Ｎ　Ｋｉｓ　ａ　ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｋ　ａｎｄ　Ｍ　ｎ　Ｋ≠１．Ｂｙ　ｓｔｅｐ　３．Ｍ　ｎ　Ｋ　ｉｓ　Ｘ—ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒ—　ｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．Ｔａｋｅ　ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｔ∈　（Ｍ　ｎ　Ｋ）．Ｔｈｅｎ　Ｇ　＝（Ｍ　ｎ　Ｋ）Ｔａｎｄ　ｏｆｒ　ａｎｙ　Ｓｙｌｏｗ　ｑ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｑ　ｏｆ　Ｔ，ｗｈｅｒｅ　ｑ≠Ｐ，ｗｅ　ｈａｖｅ（Ｍ　Ｎ　Ｋ）Ｑ　＝Ｑ　（Ｍ　Ｎ　Ｋ）ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　∈　Ｘ．Ｔｈｕｓ，Ｎ　ｎ　Ｍ＝Ｎ　ｎ（Ｍ　ｎ　Ｋ）Ｑ　（Ｍ　ｎ　Ｋ）Ｑ　ａｎｄ　ｓｏ　Ｎ　ｎ　Ｍｉｓ　ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ　ｂｙ　Ｑ　．Ｃｌｅａｒｌｙ　Ｎ　ｎ　Ｍｉｓ　ａ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｐ．ｓｏ　ｗｅ　ｈａｖｅ　ｔｈａｔ　Ｎ　ｎ　Ｇ．Ｔｈｉｓ　ｉｍｐｌｉｅｓ　ｔｈａｔ　Ｎ　Ｎ　Ｍ＝１．ａｎｄ　ｓｏ　Ｎ　ｉｓ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ　Ｐ．Ｈｅｎｃｅ　Ｇ　ｉｓ　Ｐ－ｓｕ—　ｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ａ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ　ｆｉｎａｌ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃ－　ｔｉｏｎ　ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ．　３　Ｓｏｍｅ　Ｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓ　ｏｆ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｃ　Ｃｌｅａｒｌｙ，Ｔｈｅｏｒｅｍｓ　Ａ　ａｎｄ　Ｂ　ｃａｎ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　Ｔｈｅｏ—　ｒｅｉｎ　Ｃ　ｂｙ　ｃｈｏｏｓｅ　＝１．Ｂｙ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｃ．ｗｅ　ｃａｎ　ａｌｓｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｇｒｏｕｐｓ．Ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｗｅ　ｈａｖｅ　Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ　ＬｅｔＰ∈Ｓｙｌ。（Ｇ）ｗｉｔｈ　ＩＰＩ　ａｎｄ　Ｘ　ａ　ｓｏｌｕｂｌｅ　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ．Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ，ｆｏｒ　ｅｖｅｒｙ　ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｈ　ｏｆ　Ｐ，Ｈ　ｎ　ｏｐ（Ｇ）ｉｓ　Ｘ—ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒ－　ｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．Ｔｈｅｎ　Ｇ　ｉｓ　ｐ－ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ．　Ｐｒｏｏｆ　Ｗｉｔｈ　ａ　ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ　ｉｎ　ｍｉｎｄ．ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　Ｇ　ｉｓ　ｎｏｔ　Ｐ－ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ．Ｗｒｉｔｅ　Ｕ＝　（Ｇ）．Ｂｙ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　Ｃ，　ＪＰ　ｎ　Ｕ＝Ｐ，ｔｈａｔ　ｉＳ．Ｐ≤Ｕ。ａｎｄ　ｓｏ　Ｇ＝Ｕ．Ｔｈｉｓ　ｍｅａｎｓ　ｔｈａｔ　ｅｖｅｒｙ　ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｐ　ｉｓ　Ｘ－ｓ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｉｎ　Ｇ．Ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｃｏｎｃｌｕｄｅ　ｔｈａｔ　Ｇ　ｉｓ　Ｐ—ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｌｅ（ｃｆ．　『１４，Ｔｈｅｏｒｅｍ　１］）．　ｔｈｅ　Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　ＣＵＩＴ（Ｊ２０１５１２）　Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ：　［１］　ｗ　Ｇｕｏ．Ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｃｌａｓｓｅｓ　ｏｆ　Ｇｒｏｕｐｓ［Ｍ］．　Ｂｅｉｊｉｎｇ－Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ－Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ—Ｂｏｓｔｏｎ—Ｌｏｎｄｏｎ：Ｓｃｉ—　ｅｎｃｅ　Ｐｒｅｓｓ—Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，２０００：１—　４９．　［２］　Ｂ　Ｈｕｐｐｅ￣．Ｅｎｄｌｉｃｈｅ　Ｇｒｕｐｐｅｎ　Ｉ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—　Ｖｅｒｌａｇ　Ｂｅｒｌｉｎ－Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ．１９６７．　［３］　Ｙ　Ｇｕｏ，Ｉ　Ｍ　Ｉｓａａｃｓ．Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｎｐ—ｓｕｐｅｒｇｒｏｕｐｓ　ｉｍ—　ｐｌｙｉｎｇ　ｐ－ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｅ　ｏｒ　ｐ－ｓｕｐｅｒｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．　Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ，２０１５，１０５：２１５—２２２．　［４］　Ａ　Ｂａｌｌｅｓｔｅｒ—Ｂｏｌｉｎｃｈｅｓ，Ｒ　Ｅｓｔｅｂａｎ—Ｒｏｍｅｒｏ，Ｓ　Ｑｉａｏ．　Ａ　ｎｏｔｅ　ｏｎ　ａ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　Ｇｕｏ　ａｎｄ　Ｉｓａａｅｓ　ａｂｏｕｔｐ·－ｓｕｐｅｒ··　ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．（Ｂａ—　ｓｅ１），２０１６，１０６（６）：５０１－５０６．　［５］　Ｗ　Ｅ　Ｄｅｓｋｉｎｓ．Ｏｎ　ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ｚ，１９６３，８２：１２５－１３２．　［６］　Ｗ　Ｇｕｏ，Ｓｈｕｍ　Ｋ　Ｐ，Ｓｋｉｂａ　Ａ　Ｎ．Ｘ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｍａｘｉ－　ｅｒａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　Ｓｙｌｏｗ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ　［Ｊ］．Ｕｋｒａｉｎ　Ｍａｔｅｍ．Ｊ．，２００６，５８（１０）：１２９９—　１３０９．　［７］　Ｗ　Ｇｕｏ，Ｋ　Ｐ　Ｓｈｕｍ，Ａ　Ｓｋｉｂａ．Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ　Ｐｅｒｍｕｔ—　ａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ａｎｄ　Ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．ＳＥＡＭＳ　Ｂｕｌｌ　Ｍａｔｈ．，２００５，９：４９３—　５１０．　［８］　Ｌｉ　ｐｉｎｇ　Ｈａｏ，Ｙａｎ　Ｗａｎｇ．Ｔｗｏ　ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆｒ　ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｉｆｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｊ．ｏｆ　Ｘｕｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ），２００８，２６　（３），１４－１８．　［９］　Ｌｉｙｕｎ　Ｍｉａｏ，Ｙａｎｇｍｉｎｇ　Ｌｉ．Ｓｏｍｅ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｆｏｒ　ｐ－ｓｕ—　ｐｅｒｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，２０１７，５（３）：３３９－３４８．　［１０］　Ｏ　Ｈ　Ｋｅｇｅ１．Ｓｙｌｏｗ—Ｇｒｕｐｐｅｎ　ａｎｄ　Ｓｕｂｎｏｍｒａｈｅｉｌｅｒ　ｅｎｄｌｉｃｈｅｒ　Ｇｒｕｐｐｅｎ．Ｍａｔｈ．Ｚ．［Ｊ］．１９６２，７８：２０５—　２２１．　１０２　成都信息工程大学　学报　第３３卷　［１１］　Ｙ　Ｌｉ，Ｓ　Ｑｉａｏ，Ｎ　Ｓｕ，ｅｔ　ａ１．Ｏｎ　ｗｅａｋｌｙ　ｓ—ｓｅｍｉｐｅｒ—　ｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ａｌｇｅｂｒａ，　２０１２，３７１：２５０－２６１．　［１４］　Ｇｕｏ　Ｗ，Ｓｈｕｍ　Ｋ　Ｐ，Ｓｋｉｂａ　Ａ　Ｎ．Ｘ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　Ｓｙｌｏｗ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｕｋｒａｉｎ　Ｍａｔｅｍ．Ｊ．２００６，５８（１０）：　１２９９—１３０９．　［１２］　Ｇｕｏ　Ｗ，Ｓｈｕｍ　Ｋ　Ｐ，Ｓｋｉｂａ　Ａ　Ｎ．Ｘ—ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｉｆｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎ，Ｊ．Ａｌｇｅｂｒａ，　２００７，２８Ａ（１）：１７－２６．　［１５］　Ｉ　Ｍ　Ｉｓｓａｅｓ．Ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ仃－ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．　Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ，２０１４，１０２：１－６．　［１３］　Ｈｕ　Ｂ，Ｇｕｏ　Ｗ．ｃ－ｓｅｍｉｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉ—　［１６］　Ｗ　Ｇｕｏ，Ｓｋｉｂａ　Ａ　Ｎ，Ｓｈｕｍ　Ｋ　Ｐ．Ｘ—Ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌ　ｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｓｉｂｅｒｉａｎ　Ｍａｔｈ．Ｊ，２００７，４８（１）：　１８０—１８８．　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｓｉｂｅｒｉａｎ　Ｍａｔｈ．Ｊ，２００７，４８（４）：　５９３—６０５．　有限群超可解的一些充分条件　尤　泽，　李保军　（成都信息工程大学应用数学学院，四川成都６１００２５）　摘要：Ｇ是有限群且　是一个非空集合。若子群　在Ｇ中有补充　，且对任取　中的元　，Ｈ与　的任意Ｓｙｌｏｗ　子群是　一置换的，子群日被称为是在Ｇ中Ｘ　半置换的．令ｄ是一个小于Ｐ的阶的ｐ一子群的阶．推广了ｓ一半置换子　群的一些结果，利用Ｘ　半置换子群的性质进一步研究有限群，给出有限群超可解的一些结论．即可得到：对任意　的ｄ阶正规子群日和Ｇ的可解正规子群　，若日ｎ　０　（Ｇ）在Ｇ中　一半置换的，则Ｇ是ｐ一超可解的或者是　Ｉ　Ｐ　ｎ　０　（Ｇ）ｌ＞ｄ．　关键词：基础数学；代数学；有限群；ｐ．超可解；Ｘ－ｓ一半置换；ｐ－群