2015-2016学年江苏省扬州市江都区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球是必然事件 C．任意打开八年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D．从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是“A”的可能性比摸到的牌是“红桃”可能性小 3．今年我区有近8000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A．这1000名考生是总体的一个样本 B．近8000名考生是总体
C．每位考生的数学成绩是个体 D．1000名学生是样本容量
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ） A．
B．
C．
D．
5．已知P1（﹣1，y1）、P2（1，y2）、P3（2，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
6．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（ ）
A．四边形ABCD是梯形 B．四边形ABCD是菱形 C．对角线AC=BD D．AD=BC 7．下列说法：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
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③在反比例函数y=中，如果自变量x＜2时，那么函数值y＞2． 其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点D在双曲线y=（x＞0）上，AD交y轴于点E（0，2），且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9．函数
中，自变量x的取值范围是______．
10．若a、b满足a2﹣4a+4+=0，则ba=______．
11．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复．下表是由试验得到的一组统计数据：
100 200 300 400 500 600 摸球的次数 58 118 189 237 302 359 摸到白球的次数 0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.598 摸到白球的频率 从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为______．（结果精确到0.1） 12．关于x的方程
的解是负数，则α的取值范围是______．
13．要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，首先应假设这个三角形中______．
14．若关于x的分式方程
无解，则m=______．
15．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为______．
第2页（共28页）
16．如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，
），则点F的坐标是______．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=得到△MNC，连接BM，则BM的长是______．
，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，
18．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点
G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
19．计算或化简： （1）
（2）++．
20．解方程：
=1﹣．
第3页（共28页）
21．先化简，再求值：，其中．
22．某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A，B，C，D四等，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题
（说明：测试总人数的前30%考生为A等级，前30%至前70%为B等级，前70%至前90%为C等级，90%以后为D等级） （1）抽取了______名学生成绩； （2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是______；
（4）若测试总人数前90%为合格，该校初二年级有900名学生，求全年级生物合格的学生共约多少人．
23．某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：AD=AF；
（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
25．如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数
的图象交于A、B两点、与
x轴交于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣4．求： （1）一次函数的解析式；
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（2）并利用图象指出，当x为何值时有y2＞y1；
（3）若点N是反比例函数上一点，△AOB与△OMN面积相等，请直接写出点N的坐标．
26．探索： （1）如果（2）如果总结：如果
=3+=5+=a+
，则m=______； ，则m=______；
（其中a、b、c为常数），则m______；
的值为整数，求满足条件的整数x的值．
应用：利用上述结论解决：若代数式
27．如图所示，在菱形ABCD中，AB=8cm，∠BAD=120°，点E、F分别是边BC、CD上
的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是acm和bcm．
（1）请问当a和b满足什么关系时，△AEF为等边三角形？并说明理由；
（2）请问在（1）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值；
（3）在（1）的条件下，求出△CEF的面积最大值．
28．如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）． （1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD______∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是______； （2）当∠BAC=90°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=90°，请证明：．
（3）如图4，当∠BAC=120°时，点D是射线BP上一点（点P不在线段BD上）， ①当0°＜α＜30°，且∠CDP=60°时，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）； ②当30°CD与AD之间的数量关系＜α＜180°，且∠CDP=120°时，请直接写出线段BD、（不必证明）．
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2015-2016学年江苏省扬州市江都区八年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选A．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球是必然事件 C．任意打开八年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D．从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是“A”的可能性比摸到的牌是“红桃”可能性小 【考点】可能性的大小；随机事件．
【分析】分别利用确定事件和随机事件的定义结合可能性大小的定义得出答案．
【解答】解：A、抛掷一枚质量均匀的硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意；
B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉至少有两个球是必然事件，正确，不合题意； C、任意打开八年级下册数学教科书，正好是97页是随机事件，故此选项错误，符合题意； D、从一副扑克牌中任意抽取1张，摸到的牌是“A”的可能性比摸到的牌是“红桃”可能性小，正确，不合题意． 故选：C．
3．今年我区有近8000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A．这1000名考生是总体的一个样本 B．近8000名考生是总体
C．每位考生的数学成绩是个体 D．1000名学生是样本容量
【考点】总体、个体、样本、样本容量．
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【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义即可判断．
【解答】解：A、抽取1000名考生的数学成绩是样本，选项错误； B、我区有近8000名考生的数学成绩是总体，故选项错误； C、每位考生的数学成绩是个体，正确； D、1000是样本容量，选项错误． 故选C．
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】最简分式． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：A、B、
=，故A选项错误．
是最简分式，不能化简，故B选项，
C、=，能进行化简，故C选项错误．
D、故选B．
=﹣1，故D选项错误．
5．已知P1（﹣1，y1）、P2（1，y2）、P3（2，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据P1（﹣1，y1）、P2（1，y2）、P3（2，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，求得三个点的纵坐标，再比较大小．
【解答】解：∵P1（﹣1，y1）、P2（1，y2）、P3（2，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，
∴y1=﹣2，y2=2，y3=1，
y1、y2、y3的大小关系是y1＜y3＜y2 故选（A）．
6．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（ ）
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A．四边形ABCD是梯形 B．四边形ABCD是菱形 C．对角线AC=BD D．AD=BC
【考点】菱形的判定；三角形中位线定理．
【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴EF∥AD，HG∥AD， ∴EF∥HG； 同理，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形； A、AD≠CD，若四边形ABCD是梯形时，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH=FE相矛盾；故本选项错误；
B、若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；
C、若对角线AC=BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误； D、当AD=BC时，GH=GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确； 故选：D．
7．下列说法：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
③在反比例函数y=中，如果自变量x＜2时，那么函数值y＞2． 其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】反比例函数的性质；平行四边形的判定；矩形的判定．
【分析】利用平行四边形的判定、矩形的判定及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是可能是等腰梯形，故错误； ②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
③在反比例函数y=中，如果自变量x＜2时，那么函数值y＞2或y＜0，故错误， 正确的有1个， 故选B．
第9页（共28页）
8．如图，平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点D在双曲线y=（x＞0）上，AD交y轴于点E（0，2），且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【考点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质．
【分析】连结BD，由四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍得平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，根据平行四边形的性质得S△ABD=2S△ABE，则AD=2AE，即点E为AD的中点，E点坐标为（0，2），A点坐标为（﹣，0），利用线段中点坐标公式得D点坐标为，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得k的值． 【解答】解：如图，连结BD，
∵四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍，
∴平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍， ∴S△ABD=2S△ABE，
∴AD=2AE，即点E为AD的中点，
∵E点坐标为（0，2），A点坐标为（﹣，0）， ∴D点坐标为（，4），
∵顶点D在双曲线y=（x＞0）上， ∴k=×4=6， 故选：B．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
第10页（共28页）
9．函数中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥﹣1且x≠2． 故答案为：x≥﹣1且x≠2．
10．若a、b满足a2﹣4a+4+=0，则ba= 4 ．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
=0， 【解答】解：a2﹣4a+4+
=0， （a﹣2）2+
则a﹣2=0或b+2=0， 所以a=2，b=﹣2， 所以ba=（﹣2）2=4． 故答案是：4．
11．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复．下表是由试验得到的一组统计数据：
100 200 300 400 500 600 摸球的次数 58 118 189 237 302 359 摸到白球的次数 0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.598 摸到白球的频率 从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 0.6 ．（结果精确到0.1） 【考点】利用频率估计概率．
【分析】用所有频率的平均数即可表示时间发生的概率． 【解答】解：是白球的概率为：故答案为：0.6．
12．关于x的方程
的解是负数，则α的取值范围是 a＞2且a≠3 ．
=0.6，
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【分析】解关于x的分式方程，继而根据解不使分母为0且解为负数求解可得． 【解答】解：解方程
=2，得：x=2﹣a，
∵方程的解是负数，且x=2﹣a≠﹣1， ∴2﹣a＜0，且a≠3， 解得：a＞2且a≠3，
故答案为：a＞2且a≠3．
第11页（共28页）
13．要用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”，首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于60° ． 【考点】反证法．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．
故答案为：每一个内角都大于60°．
14．若关于x的分式方程
无解，则m= 0或﹣2 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】去分母将分式方程化为整式方程，由分式方程无解即x的值使最简公分母为0，即可得x的值，将x的值代回整式方程即可．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0， 即m=x﹣1，
∵关于x的分式方程无解， ∴x=1或x=﹣1， 当x=1时，m=0， 当x=﹣1时，m=﹣2， 故答案为：0或﹣2．
15．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 2+2 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
【分析】连接DE，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=2，即可得出结果． 【解答】解：连结DE． ∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB=60°， ∴△BCD是等边三角形， 又∵菱形ABCD的边长为4，
第12页（共28页）
∴BD=4，BE=2，DE=2， ∴△PBE的最小周长=DE+BE=2故答案为：2+2．
+2，
16．如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，
），则点F的坐标是 （
，0） ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质．
【分析】设点F坐标为（a，0），由△FOQ∽△FCE的性质得关系式5m﹣6a=﹣10…①，再由点在函数的图象上得2=…②，=…③，因为正方形的边长为2，则m+2=n…④，联立①②③④解方程组即可．
【解答】解：如下图所示：F（a，0）
∵易证△FOG∽△FCE，
第13页（共28页）
∴
∴，化简得：5m﹣6a=﹣10…①
又∵点A、E在y=上 ∴2=…②，=…③ 又∵正方形的边长为2， ∴m+2=n…④
联立求解方程组
解得：a=，
，0）
∴F点的坐标为（
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 +1 ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形CM=AM，OM=CM•sin60°=根据AB=BC，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，最终得到答案BM=BO+OM=1+． 【解答】解：如图，连接AM， 由题意得：CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°； ∵∠ABC=90°，AB=BC=， ∴AC=2=CM=2，
第14页（共28页）
，
∵AB=BC，CM=AM， ∴BM垂直平分AC，
∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=∴BM=BO+OM=1+， 故答案为：1+．
，
18．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ﹣1 ．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2=∠3，
第15页（共28页）
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°， ∴∠1+∠BAH=90°，
=90°∴∠AHB=180°﹣90°，
取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH=AO=AB=1， 在Rt△AOD中，OD=
=
=
，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值=OD﹣OH=﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆线时，DH长度最小） 故答案为：﹣1．
上运动当O、H、D三点共
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
19．计算或化简： （1）
（2）++．
【考点】二次根式的加减法；分式的加减法．
【分析】（1）先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可； （2）先将各分式的分母通分为a2﹣b2，然后进行分式的化简及合并． 【解答】解：（1）原式=3=13=13
﹣﹣
﹣2．
﹣
﹣（2
﹣10
）
（2）原式=++
=
第16页（共28页）
=
=
=
．
20．解方程： =1﹣．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣6x+9=x2﹣9﹣6， 解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
21．先化简，再求值：
【考点】分式的化简求值．
【分析】先将原式因式分解后化简，再代入求值． 【解答】解：原式=
÷（
+
） ，其中
．
=÷
=•
=当
， 时，原式=
=．
22．某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A，B，C，D四等，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题
（说明：测试总人数的前30%考生为A等级，前30%至前70%为B等级，前70%至前90%为C等级，90%以后为D等级） （1）抽取了 50 名学生成绩；
第17页（共28页）
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是 72° ；
（4）若测试总人数前90%为合格，该校初二年级有900名学生，求全年级生物合格的学生共约多少人．
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据B等级的人数除以占的百分比确定出学生总数即可； （2）求出D等级的人数，补全频数分布直方图即可； （3）求出A等级的百分比，乘以360即可得到结果； （4）由学生总数乘以90%即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：23÷46%=50（名）， 则抽取了50名学生成绩； 故答案为：50；
（2）D等级的学生有50﹣（10+23+12）=5（名）， 补全直方图，如图所示：
=72°（3）根据题意得：20%×360°，
故答案为：72°；
（4）根据题意得：900×90%=810（人）， 则全年级生物合格的学生共约810人．
23．某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
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（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设乙每天加工新产品x件，则甲每天加工新产品x件，甲单独加工完这批
产品需天，乙单独加工完这批产品需天，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工
这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数=20，由等量关系列出方程求解． （2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
【解答】解：（1）设乙每天加工新产品x件，则甲每天加工新产品
件．
根据题意得解得x=24，
﹣=20，
经检验，x=24符合题意，则x=24×=16，
所以甲、乙两个工厂每天各能加工16个、24个新产品；
（2）甲单独加工完成需要960÷16=60天，费用为：60×（80+10）=5400元， 乙单独加工完成需要960÷24=40天，费用为：40×=5200元；
甲、乙合作完成需要960÷（16+24）=24天，费用为：24×=5040元． 所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作．
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：AD=AF；
（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AD=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF；
（2）由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
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∴∠EAF=∠EDB， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（ASA）， ∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线， ∴AD=BD=DC=BC，
∴AD=AF；
（2）解：四边形ADCF是正方形． ∵AF=BD=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB=AC，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形．
25．如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数
的图象交于A、B两点、与
x轴交于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣4．求： （1）一次函数的解析式；
（2）并利用图象指出，当x为何值时有y2＞y1；
（3）若点N是反比例函数上一点，△AOB与△OMN面积相等，请直接写出点N的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）首先求得A和B的坐标，然后利用待定系数法即可求解； （2）根据函数图象即可直接求解；
（3）首先求得M的坐标，则根据三角形的面积公式求得△AOB的面积，然后设出N的纵坐标，根据面积公式求得纵坐标，则N的坐标即可求解．
【解答】解：（1）在y=﹣中，令x=﹣4，则y=1；令y=﹣4，得x=1， 则A的坐标是（﹣4，1），B的坐标是（1，﹣4）；
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根据题意得：，
解得：，
则一次函数的解析式是：y1=﹣x﹣3； （2）﹣4＜x＜0或x＞1；
（3）在y=﹣x﹣3中，令y=0，解得：x=﹣3， 则M的坐标是（﹣3，0）．即OM=3． 则S△AOB=×3×1+×3×4=设N的纵坐标的绝对值是a， 则×3a=解得：a=5．
当N的纵坐标是5时，把y=5代入y=﹣得x=﹣； 当N的纵坐标是﹣5时，把y=﹣5代入y=﹣得x=． 则N的坐标是（﹣，5）或（，﹣5）．
，
．
26．探索： （1）如果（2）如果总结：如果
=3+=5+=a+
，则m= 1 ； ，则m= ﹣13 ；
（其中a、b、c为常数），则m b﹣ac ；
的值为整数，求满足条件的整数x的值．
应用：利用上述结论解决：若代数式
【考点】分式的值．
【分析】（1）已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
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（2）已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；归纳总结表示出m即可；根据得到的结论确定出整数x的值即可． 【解答】解：探索：（1）已知等式整理得：解得：m=1；
故答案为：1；﹣13 （2）已知等式整理得：解得：m=﹣13；
总结：m=b﹣ac； 故答案为：m=b﹣ac； 应用：∵x为整数且
=
=4+
为整数，
，
=
，即5x﹣3=5x+10+m，
=
，即3x+4=3x+3+m，
∴x﹣1=±1， ∴x=2或0．
27．如图所示，在菱形ABCD中，AB=8cm，∠BAD=120°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是acm和bcm．
（1）请问当a和b满足什么关系时，△AEF为等边三角形？并说明理由；
（2）请问在（1）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值；
（3）在（1）的条件下，求出△CEF的面积最大值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ACF，得到答案；
（2）根据割补法求面积的思想解答；
（3）求出△AEF的最小面积，即可得出△CEF的面积最大值．
【解答】解：（1）当a+b=8时，△AEF为等边三角形；理由如下：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∴AB=BC=CD=D=8，∠B=∠D=60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形，
=∠B，AC=AB， ∴∠BAC=∠1=60°
∵a+b=8，即BE+DF=8=BC，∴BE=CF，
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在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF，∠2=∠3， ∵∠2+∠4=∠BAC=60°， ∴∠3+∠4=∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形，
即当a+b=8时，△AEF为等边三角形；
（2）四边形AECF的面积不变，为16cm2．理由如下： 由（1）得△ABE≌△ACF， 则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值， 作AH⊥BC于H点，如图2所示： 则BH=BC=4， ∴AH=
=4
，
=16
（cm2）；
S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=×8×4
（3）由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时， 边AE最短=
=4
．
∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，△AEF的面积=×4则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=16﹣12
×6=12cm2，
=4
（cm2）．
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28．如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）． （1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD = ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是 BD=CD+AD ； （2）当∠BAC=90°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=90°，请证明：．
（3）如图4，当∠BAC=120°时，点D是射线BP上一点（点P不在线段BD上）， ①当0°＜α＜30°，且∠CDP=60°时，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）； ②当30°CD与AD之间的数量关系＜α＜180°，且∠CDP=120°时，请直接写出线段BD、（不必证明）．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质．
【分析】（1）①根据两三角形中若两个角对应相等，则第三个角也对应相等得：∠ACD=∠ABD；
②作辅助线，构建两个全等三角形：△ABE≌△ACD，得AD=AE，再证明△ADE是等边三角形，则AD=DE，相加后得结论；
（2）同理作辅助线，证明全等，再证明△ADE是等腰直角三角形，得DE=AD，代入DE=BD﹣BE中得结论；
（3）①如图4，BD﹣CD=AD，在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，证明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根据特殊三角函数求得DF=
AD，代入
BD﹣BE=DE中得出结论；
②如图5，BD+CD=AD，延长DB到E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，证明△ABE≌△ACD，得AD=AE，根据特殊三角函数求得DF=中得出结论．
【解答】解：（1）如图2，①∵∠CDP=120°，
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AD，代入BD+BE=DE
∴∠BDC=60°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BDC=∠BAC， ∵∠DOC=∠AOB， ∴∠ACD=∠ABD， ②BD=CD+AD，
在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE， ∵AC=AB，∠ACD=∠ABD， ∴△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD， ∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°， ∴∠CAD+∠CAE=60°， 即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形， ∴AD=DE，
∴BD=BE+DE=CD+AD； 故答案为：=，BD=CD+AD；
（2）如图3，在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE， 同理得△ABE≌△ACD， ∴AE=AD，∠BAE=∠CAD， ∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°， ∴∠CAD+∠CAE=90°， 即∠DAE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE=AD，
∴DE=BD﹣BE=BD﹣CD=AD；
（3）①如图4，BD﹣CD=AD，理由是：
在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F， 得△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD， ∴DF=FE，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=120°， ∴∠CAD+∠CAE=120°， 即∠DAE=120°， ∴∠DAF=60°， sin∠DAF=sin60°=∴DF=
AD，
，
∴DE=2DF=AD，
∴BD﹣CD=BD﹣BE=DE=AD； ②如图5，BD+CD=AD，理由是：
延长DB到E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F， ∵∠BAC=120°，AB=AC，
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∴∠ACB=∠ABC=30°， ∴∠EBA=150°﹣∠DBC， ∵∠CDP=120°， ∴∠BCD=120°﹣∠DBC，
=150°∴∠ACD=∠BCD+30°﹣∠DBC，
∴∠ACD=∠EBA， ∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD，∠EAB=∠CAD， ∴DF=EF，
∵∠BAC=∠DAE=120°， ∴∠DAF=60°， 同理得：DF=
AD，
∴ED=AD，
∴DE=BD+BE=BD+CD=
AD．
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2016年9月29日
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