一、基础知识：
数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系
项项数通项
数列
等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前
n项
等比数列
等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项
等差数列
数列：
1．数列、项的概念：按一定
列的项．
2．数列的项的性质：①有序性；②确定性；③可重复性
．
次序排列的一列数，叫做
数列，其中的每一个数叫做数
3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，
因此数列的一般形式可以写成该数列的第
a1，a2，a3，…，an，（…），简记作 {an} ．其中an是
图象法、
符号法、
列举法、
解析法、
公式法（通项
n 项，列表法、
公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．4．数列的一般性质：①单调性5．数列的分类：
①按项的数量分：
有穷数列
、无穷数列
；
、常数列、摆动数列
、其他；
；②周期性
．
②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列
③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．
6．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个
公式an=f（n）（n∈N+或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的
通项公式
．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是
散点图，点的横
各项的值
．不是所有的数列都有通项公式，数列的
指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是坐标是项的序号值
，纵坐标是
通项公式在形式上未必唯一．
7．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项
项an-1（或前几项
an与它的前一
an-1，an-2，…）间关系可以用一个公式
2
an=f（an1）（n=2，3，…）
（或an=f（an1,an的递推公式
．
）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列
n
8．数列的求和公式：设Sn表示数列{an}和前n项和，即Sn=
i1
an，如果Sn与ai=a1+a2+…＋
项数n之间的函数关系可以用一个公式Sn= f（n）（n=1，2，3，…）来表示，那么
这个公式叫做这个数列的求和公式．9．通项公式与求和公式的关系
：
通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为：
an
S1(n1)Sn
Sn1(n
2)
等差数列与等比数列：
等差数列
文
字定义符号定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
an
1
an
d
anan
1
q(q0)
递增数列：a1
递增数列：d
分类
递减数列：d常数数列：d
0，q0，q
1或a11或a1
0，00，0
11
000
递减数列：a1摆动数列：常数数列：
q0
q1
通项
ana1
(n1)d
其中p
pnd,q
qa1
amd
(nm)d
ana1q
（
n1
amq
0）
nm
q
前n项和中项
Sn
n(a1
2
an)
na1
n(n1)d
2a1
d2
pn
2
qn
Sn
a1(1q)1qna1
n
(q(q
1)1)
其中
p
d,q2
a,b,c成等差的充要条件:2bac
等和性：等差数列若
a,b,c成等比的必要不充分条件：
等积性：等比数列若
b
2
ac
an
an
mnpq则am
mn
k
an
an
apaq2ap
mn
m
k
pq则am
n
anapaq
主要性质
推论：若
2p则am
k
推论：若
2p则aman
k
1
(ap)
2
an
a1
an
an
a2
2an
1
an
an
2
an(an)
a3an
2
ana3
a1ana2an
2
即：首尾颠倒相加，则和相等
即：首尾颠倒相乘，则积相等
1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：
m
1、等差数列中连续是等差数列。即：
m项的和，组成的新数列
sm,s2msm,s3ms2m,
等
sm,s2m
2
sm,s3ms2m,
sm)
比，公比为q。
等差，公差为
2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：a1,a4,a7,a10,3、
（下标成等差数列）
md则有s3m
其
3(s2m
2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：a1,a4,a7,a10,3、
（下标成等差数列）
an,bn等比，则
a2n，a2n
1
，
kan
an,bn等差，则b，pan
a2n，a2n
1
，
也等比。其中k
它
kanqbn也等差。
0
n的指数函
4、等差数列数，即：an等差数列
an的通项公式是n的一次函
dn
c(d
0)
4、等比数列的通项公式类似于数，即：an
cq，其中c
n
a1q
n
an的前n项和公式是一个没有常
2
数项的n的二次函数，即：Sn
等比数列的前n项和公式是一个平移加振
An
Bn(d
0)
幅的n的指数函数，即：
sn
cq
c(q1)
5、项数为奇数
2n1的等差数列有：
5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。
s奇
性
nn1
1
s偶
s2n
s奇s偶
an
a中
(2n1)an
项数为偶数2n的等差数列有：
s奇s偶
s2n
质
6、an
anan
1
，s偶s奇
nd
n(anm,amsm则sm
n
an1)n则am
0(n
n
n
0m)(m
n)
证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：
snsn
m,smn则sm
证明方法
证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：an2、中项法：an
1
anan
1
d(常数)2an(n
2)
anan
1
q(常数)an
（an）(n
2
1
2、中项法：an
11
2,an
0)
设元技巧
三数等差：四数等差：
ad,a,ad
a3d,ad,ad,a3dan是等差数列，则数列
C
an
三数等比：
aq
2
或,a,aqa,aq,aq
四数等比：a,aq,aq,aq是等比数列，公比为
d
23
1、若数列联系
C，其中C是常数，d是
an的公差。
2、若数列
an是等比数列，且an
0，则数列
logaan是等差数列，公差为
logaq，其中
a是常数且a
0,a1，q是an的公比。
an
s1sn
sn
1
数列的项an与前n项和Sn的关系：
(n1)(n
2)
数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果
数列）
即把每一项都乘以转化为等比数列求和。
an等差，bn等比，那么anbn叫做差比
bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列
1anan
1anan
1
和
1
1an
1an
1
an)，
（其中
1
an等差）
1
可裂项为：
11(dan
1an
an
1
d
(an
1
an)
等差数列前n项和的最值问题：
1、若等差数列
an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。
（ⅰ）若已知通项
an，则Sn最大
anan
1
00
；
（ⅱ）若已知
Sn
pn
2
qn，则当n取最靠近
0，公差d
q2p
的非零自然数时
Sn最大；
2、若等差数列
an的首项a1
0，则前n项和Sn有最小值
（ⅰ）若已知通项
an，则Sn最小
anan
1
00
；
（ⅱ）若已知
Sn
pn
2
qn，则当n取最靠近
q2p
的非零自然数时
Sn最小；
数列通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知Sn（即a1
a2
L
an
f(n)）求an，用作差法：an
S1,(n1)SnSn1,(n
2)
。
已知a1ga2gLgan
f(n)求an，用作商法：an
f(1),(n1)
。f(n)
,(n2)
f(n1)
an。L
(a2
a1)
⑶已知条件中既有⑷若an
1
Sn还有an，有时先求Sn，再求an；有时也可直接求f(n)求an用累加法：an
(an
an1)
(an
1
anan2)
a1(n
⑸已知
2)。
anan
1
f(n)求an，用累乘法：an
anan
1
anan
12
L
a2a1
a1(n2)。
⑹已知递推关系求
an，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如ankan
n
1
b、ankan
1
b（k,b为常数）的递推数列
kan
1
n
都可以用待定系数法转化为公比为的递推数列都可以除以
k的等比数列后，再求an；形如an
an。
k
n
k得到一个等差数列后，再求
ankan
1
1k1
（2）形如an
b
的递推数列都可以用倒数法求通项。
（3）形如anan的递推数列都可以用对数法求通项。anan
11
（8）遇到an
1
an
1
d或q时，分奇数项偶数项讨论
，结果可能是分段形式
数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①
1n(n1)1k
2
1n1；②1n1n(nk)1(1
1)，
1k1
1(1
kn
1k
1
1)；nk
1(k]；⑤
1)k
n(n1)!
1k
2
③
1k
2
1(k1n!
1)k1(n1)!
1k1
；
1k
12k1
12)
[
1
k1
；
④
1n(n1)(n
2n(n1)(n1)(n2)
⑥
2(n1n)
2n
n11n
2n
n1
2(nn1)
二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an
（n
1时，a1S1，n2时，anSnSn1）
3、求差（商）法
如：a11n满足
2a1
2
2
a2
……
12
n
an
2n
5解：
n
1时，
12
a1
215，∴a1
14
n
2时，1a112
12
2
a2……
2
n1
an
1
2n
1512
得：
1
2
n
an
2
∴an
2
n1
∴a14(n1)n
2
n1
(n
2)
［练习］
数列an满足S5
nSn
1
3
an1，a14，求an
4、叠乘法
例如：数列
an中，a1
3，an1
nann1，求an
解：
a2·a3a……an1·21
a……
n1
，∴
an12
an1
2
3
n
a1
n
又a313，∴an
n
2
1
5、等差型递推公式
由anan
1
f(n)，a1a0，求an，用迭加法
n
2时，a2
a3an
……an
f(2)a0
a1a2
f(2)f(3)……f(n)
两边相加，得：
1
an∴an
［练习］
a1
f(3)
…………
f(n)f(n)
f(2)f(3)
数列an，a11，an
3
n1
an
1
n
2，求an
6、等比型递推公式
ancan
1
dc、d为常数，c
an
x
0，ccan
1
1，dx
0
可转化为等比数列，设an令(c
can1)x
dcdc
1a1
1
1
c1x
dc1
dc
n1
d，∴x
∴an是首项为a1
dcc
n1
1
，c为公比的等比数列
∴an
a1dc1
1
·cdc
1
∴an
［练习］
数列an满足a19，3an
1
an4，求an
7、倒数法
例如：a11，a2an
n
1
an2
，求an由已知得：
1an2
11an
1
2an
2
an
∴
111an
1
an
2
11a为等差数列，1，公差为
1
na1
2
111a1n
1·
n2
2
n
1
∴a2n
n
1数列前n项和的常用方法：1、公式法：等差、等比前
n项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
n
如：an是公差为d的等差数列，求
1k1
akak
1
解：
由
11111ak·ak
1
akak
ddad0
k
ak
1
n
n
∴
1111k1
akak
1
k
1dak
ak1
11111da1a2a2
a……
13
an
1
1
1da1
an
1
1an
1
［练习］
求和：1
111
12123
……
123……
n
3、错位相减法：
若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前和，可由Sn
qSn求Sn，其中q为bn的公比。如：Sn
1
2x3x2
4x3
……nxn1
1x·Sx
2x
23x
3
4x
4
……
n
1xn1
nnxn
2
1
2
：1
xSn
1
x
x2
……
xn
1nxn
nn
x
1时，S1xnxn
1x
2
1x
x
1时，Sn
12
3……
n
nn1
24、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sna1a2……an
1
an相加
Snan
an
1
……a2a1
2Sn
a1
an
a2
an
1
……
a1
an……
［练习］
已知f(x)
x2
1
x
2
，则f(1)
f(2)f
12
f(3)f
13
f(4)f
14
n项
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