计算∬xdydz+ydzdx+zdxdy,其中∑为曲面z=√(x^2+y^2+z^2)位于平面z...
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答案为4π
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补充平面 ∑1：z = 2（x^2+y^2 ≤ 4）, 取上侧，成封闭曲面, 则
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1> - ∫∫<x^2+y^2 ≤ 4>
前者用高斯公式， 后者 z = 2， dz = 0， 得
I = ∫∫∫<Ω> 3dv - ∫∫<D> 2dxdy
= 3 · (π/3) · 2^2 · 2 - 2 · π · 2^2
= 8π - 8π = 0
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答案是4π。
