实变函数学习笔记1——σ-代数与可测集的定义
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发布时间：2025-01-03 01:43
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时间：9分钟前
莎莉镇楼！夏佐，规矩是你定的，所以莎莉就让我抱走吧！
让我们开始进入正题。
在数学中，我们常常需要对集合进行分类和操作。σ-代数是一种重要的集合系统，它定义了哪些集合可以被测量。σ-代数是一个非空集合的子集族，它在取补集与可数并运算下封闭。即，给定集合族A，若满足以下两个条件，则称A为σ-代数：1）若集合B属于A，则其补集也属于A；2）若集合B1,B2,...属于A，则它们的可数并也属于A。
我们可以从定义出发，得到几个简单且有用的性质。例如，若集合B属于σ-代数，则其补集也属于该σ-代数。这可以由定义①和②推导得出。此外，若σ-代数包含集合B，那么它也包含B的所有子集。
为了更直观地理解σ-代数，我们可以举几个具体的例子。例如，{空集，全集}是一个σ-代数；[公式]是一个σ-代数；[公式]是一个σ-代数。这些例子可以帮助我们更好地理解σ-代数的定义。
我们还可以考虑一个特殊且重要的例子：在拓扑空间中，包含全部开集的最小σ-代数被称为Borel代数。这是实数集上最常用的σ-代数之一。
存在性与唯一性定理指出，给定任意集合与任意子集族，总存在一个唯一最小的σ-代数包含它，满足给定条件。这定理的证明涉及存在性和唯一性的两个部分。简单来说，我们可以通过构建包含所有所需集合的σ-代数族，验证其确实满足σ-代数的定义，并通过证明该族的最小性来完成唯一性的证明。
在讨论具体的σ-代数时，我们遇到了一个自然的疑问：是否真的存在满足给定定义的σ-代数？通过存在性与唯一性定理，我们知道了确实存在这样的σ-代数，并且它是唯一的。
接下来，我们给出可测集的定义。给定集合X与其上的σ-代数A，则所有属于A的集合被称作可测集。这意味着，当我们对集合进行测量时，我们只需要考虑属于σ-代数的那些集合。
至此，我们的第一篇笔记结束。下一篇文章将对应第一节课的后半部分，预计2-3日内更新。最后，留给读者一道思考题：令X=[0,1]，A=[公式]，试找出包含X的最小σ-代数。答案将在下期笔记中公布。
